Problemino dalle IMO

Alur nell’allenamento per Cesenatico ho inserito anche qualche vecchio problema imo… che erano MOOOOOOLTO più facili xD

Il problema è il primo del ‘59 e sono riuscito a risolverlo Il problema è:

Dimostrare che è irriducibile per ogni .

Per risolverlo bisogna prima di tutto intendere bene il testo… se una frazione è irriducibile allora numeratore e denominatore sono coprimi (non hanno fattori comuni) quindi non esiste un qualunque numero naturale k diverso da 0 che divide entrambi.

Da questo punto si ragiona per assurdo… assumo che esista un numero k che divide entrambi… allora se li sottraggo il risultato sarà ovviamente ancora divisibile per k… quindi

k|21n+4-(14n+3)===> k|7n+1

Per chi non lo sapesse il segno | significa divide. A questo punto però un multiplo di un numero divisibile per k è a sua volta divisibile per k… quindi

k|3(7n+1)===>k|21n+3

Ma come detto se sottraggo 2 numero divisibili per k il risultato è a sua volta divisibile per k

k|21n+4-(21n+3)===>k|1

A questo punto ho che k|1… dato che può essere 1 o -1… bhe non è di sicuro un fattore in comune, che quindi non esiste.

Spero di essere stato abbastanza chiaro e ho tentato anche di essere un minimo istruttivo spiegando i simboli strani che uso

Come volevasi dimostrare.

Tag: Roma, matematica, esempio, uso, problema, cesenatico, olimpiadi, spiegazione, esercizio, prova, 1, difficile, aritmetica modulare, congruenze, imo, frazione, divide, segni, coprimi, 59