Ieri non ho potuto postare dato che ho passato tutto il pomeriggio ad un incontro preparatorio per Cesenatico.
L’incontro era tenuto all’università di Torvergata (lontanissimo da casa mia) da un professore di matematica che a suo tempo era andato alle IMO.
Il tutto è durato circa 3.00 ore e si è svolto così: la prima ora e mezza abbiamo svolto (o tentato di svolgere) dei quesiti che ci ha consegnato, nella seconda parte abbiamo discusso dei problemi. In generale mi è piaciuto moltissimo, soprattutto per 2 cose interessanti che ci ha spiegato (ne ha spiegate altre ma questa mi sono piaciute in modo particolare xD): il teorema di Ceva e i numeri di Catalan.
Il teorema di Ceva è un teorema relativamente conosciuto che però io non sapevo, il teorema recita così:
Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con A’, B’, C’ le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:
Il teorema risulta utilissimo nel risolvere molti problemi geometrici e inoltre vale anche il suo inverso, cioè se quella relazione è vera allora le 3 ceviane (così si chiamano i segmenti che uniscono un vertice al lato opposto) si incontrano in un punto.
I numeri di Catalan sono più impegnativi da spiegare… alur prima di tutto vi do la definizione secca… poi spiego a cosa servono:
I numeri di Catalan sono fondamentali in combinatoria dato che in senso generale calcolano i modi in cui è possibile mettere n elementi in 2n+1 spazi in modo che prendendo una serie di spazi che parte da 0 e va fino a k gli elementi presenti siano sempre <k/2. Facendo un esempio ho a disposizione 3x e 2k. Voglio fare una parola in cui leggendo dall’inizio le x superino in ogni punto le k.
Perciò parole come xxxkk,xxkxk vanno bene, mentre parole come kkxxx,xkxxk, xxkkx non vanno bene. Il numero di parole che vanno bene e quindi il secondo numero di catalan, che svolgendo la formula si scopre essere 2… che è giusto dato che le uniche 2 parole che vanno bene sono xxxkk e xxkxk.
I numeri di Catalan possono essere usati in una marea di problemi, purchè si riesca a ricondurre tutto al caso sopracitato 
La dimostrazione di questa proprietà dei numeri di Catalan è relativamente lunga e complicata e soprattutto non mi va di scriverla xD Quindi o vi fidate oppure cercate sul web qualcuno più serio di me che ve la fornisce xD
Come volevasi dimostrare.
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